# Laplace変換の性質

# 収束性

Laplace変換の収束性を議論したいとき、関数の上での積分が収束するかどうかを気にすることになる。そこで、このノートでは、次のように定義する：

定義

を、に対して定義された関数とする。がのLaplace変換の収束域に入るとは、

であることをいう。収束域に入る複素数全体の集合を、このノートでは

と書くことにする。

「ROC」は、region of convergenceの略である。

が収束域に入るとき、積分は有限の値に収束する。

が収束域に入るかどうかは、の実部のみに応じて定まる。したがって、は、虚軸方向の平行移動に関して不変である。

例

のとき、である。

命題

を、に対して　定義された関数とする。とする。このとき、がをみたすならば、が成り立つ。

証明

, とおく。このとき、仮定よりだから、のとき、

となる。これより、

であることがわかる。

積分の線形性から、次のことがわかる：

命題

, を上で定義された関数とし、とする。が、に対して、それぞれのLaplace変換 , が収束するとする。このとき、のLaplace変換もで収束して、

が成り立つ。

証明

まず、仮定より、次の二つの積分は収束する：

これらのことと積分の線形性より、

も収束して、その値は

である。